☛ Médicament

Énoncé

Lorsqu'un médicament est administré à un patient, la concentration \(C(t)\) du médicament dans le sang (en mg/L) en fonction du temps \(t\) (en heures) après l'administration peut être modélisée par la fonction suivante : \(C(t)=\dfrac{3}{(t+2)^2}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(C\).
2. Calculer \(C(0)\) et interpréter dans le contexte de l'exercice.
3. Montrer que \(C\) est décroissante sur son domaine de définition.
4. Que peut-on penser de la concentration du médicament au bout d'un long temps ?

Solution

1. \(C\) dépend du temps donc \(C\) est défini sur \([~0~;~+\infty~[\).
2. \(C(0)=\dfrac{3}{(0+2)^2}=\dfrac{3}{4}=0,75\). La concentration initiale du médicament est de \(0,75\) mg/L.
3. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0\leq a<b\).
\(\begin{align*}0\leq a<b&\Leftrightarrow 2\leq a+2<b+2\\&\Leftrightarrow4\leq(a+2)^2<(b+2)^2\text{ car la fonction carré est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\geq\dfrac{1}{(a+2)^2}>\dfrac{1}{(b+2)^2}\text{ car la fonction inverse est décroissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}\geq\dfrac{3}\\{(a+2)^2}>\dfrac{3}{(b+2)^2}\\&\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}\geq C(a)>C(b)\end{align*}\)La fonction \(C\) est donc décroissante sur   \([~0~;~+\infty~[\).
4. En calculant les images de divers nombres (5, 10, 40, etc.), on peut voir que plus le temps passe, plus la concentration tend vers 0. Le médicament s'élimine.